Aula de Revisão I – Teorema de Laplace

Aqui estou, seu amigo Matemágico, com a primeira aula do blog, a qual serve como revisão para a prova.

Creio eu que todos estão um pouco nervosos por causa do famigerado Teorema de Laplace e por isso a aula será sobre o teorema que ele criou para os determinantes.

Para começarmos a aula, falemos um pouco sobre o criador dessa fórmula:

 

“Pierre Simon Laplace foi um matemático, astrônomo

e físico que fez muitas contribuições as ciências exatas.”

 

 

 

 

O Teorema de Laplace, a contribuição pela qual estamos interessados, é dado pela fórmula:

∑ a_ij . cof(a_ij)

Interpretando a fórmula acima, temos que:

“O determinante de uma matriz é dado pela somatória dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) pelo seu respectivo co-fator.”

Vamos aprender primeiro sobre o co-fator. Que é dado por:

cof(a_ij) = (-1)^i+j . D_ij

O termo em vermelho é chamado Menor Complementar. Ele equivale ao determinante da matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j do elemento a_ij. Vejamos o exemplo a seguir:

1	2	3
4	5	6
7	8	9

Escolheremos, para executar o exemplo, o elemento “a₂₂”

Eliminando a linha 2 e a coluna 2, teremos a matriz abaixo:

1	3
7	9

Calculando o determinante, teremos o valor –12. Logo, D_ij será igual a –12.

Aplicando esse valor na fórmula do co-fator, teremos:

cof(a₂₂) = (-1)²⁺² . D₂₂

cof(a₂₂) = (-1)⁴ . -12

cof(a₂₂) = 1 . -12 = -12

Logo, o co-fator do elemento a₂₂ é igual a -12.

Para pura compreensão do conteúdo, espero que vocês calculem os outros co-fatores de todos os outros elementos da matriz acima.

Bom, continuaremos a executar a fórmula do Teorema de Laplace, usando a segunda linha da matriz 3x3 usada no exemplo. Logo ficaria assim:

det = a₂₁ . cof(a₂₁) + a₂₂ . cof(a₂₂) + a₂₃ . cof(a₂₃)

Todo aquele termo em vermelho é a somatória dos produtos de a_ij . cof(a_ij) da linha 2.

Teríamos então que o determinante da matriz é igual:

det = 4 . 6 + 5 . –12 + 6 . 6
det = 24 + (-60) + 36
det = 60 – 60 = 0

Os termos em negrito são os co-fatores dos elementos da linha 2 e termo em negrito-azul é o nosso determinante.

Confira usando a Regra de Sarrus na matriz usada na aula e veja se está correto.

Estarei preparando exercícios de Teorema de Laplace para que vocês aprendam o conteúdo.

Até mais,
Matemágico