Estou passando cinco exercícios de fixação de conteúdo referente ao Teorema de Laplace.
Você consegue resolvê-los? Os números são grandes, pode usar calculadora :).
Observação: Por favor, não use Sarrus na C.
A –)
| 12 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 9 | 3 | 10 |
| -1 | 1 | 0 | 2 |
| 13 | -5 | 7 | 10 |
B –)
| 8 | 7 | 6 | 5 |
| 0 | 5 | 10 | 15 |
| 10 | 12 | -12 | 10 |
| 0 | 0 | 8 | 6 |
C –)
| 21 | 12 | 0 |
| 20 | 12 | 0 |
| 0 | 0 | 10 |
D –)
| 1 | 0 | 6 | 0 | 5 |
| 8 | 2 | 6 | 4 | 10 |
| 7 | 4 | 3 | 8 | 11 |
| 0 | 2 | -2 | 4 | 2 |
| 1 | -3 | -4 | 1 | 5 |
E –)
| 2 | 6 | 4 | 10 |
| 4 | 3 | 8 | 11 |
| 2 | -2 | 4 | 2 |
| -3 | -4 | 1 | 5 |
Aqui estou, seu amigo Matemágico, com a primeira aula do blog, a qual serve como revisão para a prova.
Creio eu que todos estão um pouco nervosos por causa do famigerado Teorema de Laplace e por isso a aula será sobre o teorema que ele criou para os determinantes.
Para começarmos a aula, falemos um pouco sobre o criador dessa fórmula:
“Pierre Simon Laplace foi um matemático, astrônomo
e físico que fez muitas contribuições as ciências exatas.”
O Teorema de Laplace, a contribuição pela qual estamos interessados, é dado pela fórmula:
∑ aij . cof(aij)
Interpretando a fórmula acima, temos que:
“O determinante de uma matriz é dado pela somatória dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) pelo seu respectivo co-fator.”
Vamos aprender primeiro sobre o co-fator. Que é dado por:
cof(aij) = (-1)i+j . Dij
O termo em vermelho é chamado Menor Complementar. Ele equivale ao determinante da matriz que se obtém eliminando a linha i e a coluna j do elemento aij. Vejamos o exemplo a seguir:
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
Escolheremos, para executar o exemplo, o elemento “a22”
Eliminando a linha 2 e a coluna 2, teremos a matriz abaixo:
| 1 | 3 |
| 7 | 9 |
Calculando o determinante, teremos o valor –12. Logo, Dij será igual a –12.
Aplicando esse valor na fórmula do co-fator, teremos:
cof(a22) = (-1)2+2 . D22
cof(a22) = (-1)4 . -12
cof(a22) = 1 . -12 = -12
Logo, o co-fator do elemento a22 é igual a -12.
Para pura compreensão do conteúdo, espero que vocês calculem os outros co-fatores de todos os outros elementos da matriz acima.
Bom, continuaremos a executar a fórmula do Teorema de Laplace, usando a segunda linha da matriz 3x3 usada no exemplo. Logo ficaria assim:
det = a21 . cof(a21) + a22 . cof(a22) + a23 . cof(a23)
Todo aquele termo em vermelho é a somatória dos produtos de aij . cof(aij) da linha 2.
Teríamos então que o determinante da matriz é igual:
det = 4 . 6 + 5 . –12 + 6 . 6
det = 24 + (-60) + 36
det = 60 – 60 = 0
Os termos em negrito são os co-fatores dos elementos da linha 2 e termo em negrito-azul é o nosso determinante.
Confira usando a Regra de Sarrus na matriz usada na aula e veja se está correto.
Estarei preparando exercícios de Teorema de Laplace para que vocês aprendam o conteúdo.
Até mais,
Matemágico
